設 f(x) = Σ（n 從 1 到 ∞）xⁿ/n²，即雙對數函數 Li₂(x)。問 f 在 x = −1 處是否可微分？

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清 x = −1 相對於收斂區間處在什麼位置。 比值審斂法給出收斂半徑 $R=1$，而在兩個端點處 $\sum \tfrac{(\pm 1)^n}{n^2}$ 都絕對收斂（被 $\sum 1/n^2$ 控制住）。所以 $f$ 在閉區間 $[-1,1]$ 上有定義，而 $x=-1$ 恰是端點——這正是這個問題不能想當然的原因。在開區間 $(-1,1)$ 內部，可微分是白送的；到了端點就必須論證。

2. 2

   在區間內部逐項求導。 當 $|x|<1$ 時，

   $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}$

   這裡用到 $\sum_{n\ge 1}\tfrac{t^n}{n}=-\ln(1-t)$，取 $t=x$ 後再除以 $x$。

3. 3

   把求導後的級數拿到端點處檢驗。 把 $x=-1$ 代入導數級數得

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$

   這個交錯調和級數（由交錯級數審斂法）收斂於 $\ln 2$。這正是它與 $x=+1$ 這個情形的決定性差別：在那裡同一個級數變成發散的調和級數，導數根本不存在。

4. 4

   用阿貝爾定理把收斂升級為可微分。 既然求導後的級數在 $x=-1$ 處收斂，它就在 $[-1,0]$ 上均勻收斂；而均勻收斂的導函數級數可以逐項積分或求導，並且一直有效到端點為止。因此 $f$ 在 $x=-1$ 處可微分（在 $[-1,1]$ 內部方向上是單側可微分，若採用 $\operatorname{Li}_2$ 越過 $-1$ 的解析延拓則是雙側可微分），且

   $f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$

5. 5

   用封閉形式再確認一遍。 公式 $f'(x)=-\tfrac{\ln(1-x)}{x}$ 在 $x=-1$ 處連續，代入得

   $f'(-1)=-\frac{\ln 2}{-1}=\ln 2\approx 0.6931$

   與級數算出的值一致。（順帶一提，$f(-1)=\sum \tfrac{(-1)^n}{n^2}=-\tfrac{\pi^2}{12}$。）

   $\boxed{\text{可微分；}f'(-1)=\ln 2\approx 0.693}$

6. 6

   把兩個端點對照著看。 在 $x=1$ 處，差商 $\tfrac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n\ge 1}\tfrac{1+x+\cdots+x^{n-1}}{n^2}$ 趨於 $\sum \tfrac{1}{n}=\infty$，所以 $f$ 在那裡有鉛直切線，不可微分。而 $x=-1$ 處多出來的那個 $(-1)^n$ 因子，把一個發散級數變成了收斂級數——整個答案就取決於這一點。