求 e^x 在 x = 0 的泰勒級數展開式。

Step-by-step solution

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   先寫下要填的樣板。 函數 $f$ 在 $x=0$ 附近的泰勒級數是

   $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

   所以整件工作就是算出 $f(x)=e^{x}$ 在 $0$ 這一點的各階導數。

2. 2

   反覆微分。 指數函數是微分運算的不動點：

   $f'(x)=e^{x},\quad f''(x)=e^{x},\quad\ldots,\quad f^{(n)}(x)=e^{x}\ \text{對每個 }n\ge 0$

   這正是展開式如此乾淨的全部原因——沒有正負號的規律，也沒有愈長愈大的係數要追蹤。

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   在中心點取值。 由於 $e^{0}=1$，

   $f^{(n)}(0)=1\qquad\text{對所有 }n\ge 0$

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   代回樣板。 每個分子都是 $1$，所以 $x^{n}$ 的係數就只是 $\dfrac{1}{n!}$：

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$

5. 5

   檢查收斂半徑。 對相鄰兩項用比值審斂法，

   $\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right|=\frac{|x|}{n+1}\longrightarrow 0$

   對每個固定的 $x$ 都成立，所以級數在整個 $\mathbb{R}$ 上絕對收斂（半徑 $R=\infty$）。

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   抽查一個值。 在 $x=1$ 處，部分和 $1,\ 2,\ 2.5,\ 2.6\overline{6},\ 2.708\overline{3},\ 2.71\overline{6}$ 一路爬向 $e=2.71828\ldots$，與 $e^{1}=\sum 1/n!$ 的說法相符。