計算 0 到 1 上 ln(x) 除以 (x 的 0.9 次方乘上 (1 − x) 的 0.1 次方) 對 x 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   把被積函數整理成 Beta 函數的形狀。 改寫成

   $I = \int_0^1 x^{-0.9}(1-x)^{-0.1}\ln x\,dx$

   再與

   $B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

   對照。比對指數可得 $a - 1 = -0.9$ 故 $a = 0.1$，以及 $b - 1 = -0.1$ 故 $b = 0.9$。兩個指數都大於 $-1$，所以儘管兩端各有奇異點，積分在兩端仍然收斂。

2. 2

   對 a 微分以生出對數。 在積分號下微分恰好會帶下一個 $\ln x$：

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\ln x\,dx$

   因此 $I = \left.\partial_a B(a,b)\right|_{a=0.1,\,b=0.9}$。

3. 3

   正確地微分——陷阱在第三個 gamma。 由 $B(a,b) = \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，固定 $b$ 作對數微分得

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = B(a,b)\bigl[\psi(a) - \psi(a+b)\bigr]$

   很容易注意到求值點上 $a + b = 1$，於是在微分之前就寫成 $B = \Gamma(a)\Gamma(b)$——但 $a+b$ 並不是隨 $a$ 變動時的常數，把 $\Gamma(a+b)$ 丟掉會整個少掉 $-\psi(a+b)$ 這一項。

4. 4

   用反射公式求出 Beta 值。 在 $a = 0.1$、$b = 0.9$ 時確實有 $a + b = 1$，所以 $\Gamma(a+b) = \Gamma(1) = 1$，且

   $B(0.1, 0.9) = \Gamma(0.1)\Gamma(0.9) = \frac{\pi}{\sin(0.1\pi)} = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)} \approx 10.16640$

5. 5

   組出雙伽瑪函數的因子。 由 $\psi(1) = -\gamma$（Euler-Mascheroni 常數，$\gamma \approx 0.5772157$）與 $\psi(0.1) \approx -10.4237549$：

   $\psi(0.1) - \psi(1) = -10.4237549 + 0.5772157 = -9.8465392$

   因此

   $I = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)}\bigl(\psi(0.1) + \gamma\bigr)$

6. 6

   計算並做數值驗證。

   $I \approx 10.1664075 \times (-9.8465392) \approx -100.10393$

   獨立的數值積分——在 $0$ 附近代入 $x = u^{10}$、在 $1$ 附近代入 $x = 1 - v^{10}$ 以馴服兩處奇異點，再套用 $300$ 節點的 Gauss-Legendre 求積——得到 $-100.10393$，證實了這個封閉形式。（若漏掉 $-\psi(a+b)$ 這一項會得到 $-105.97$，偏負約 $6\%$。）結果為負是因為整個區間上都有 $\ln x < 0$。