設 f 在整個實數上二次可微。是否對每個 ξ 都存在 x₁、x₂ 使 f′(ξ) = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁)？請證明或舉出反例。

Step-by-step solution

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   注意這是均值定理的逆敘述，不是均值定理本身。 均值定理說的是每一個弦的斜率都會等於某個導數值。這裡的敘述問的是反過來的事：每一個導數值都能被某條弦的斜率實現。真定理的逆敘述需要另外證明 —— 或是舉出反例。

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   找出障礙在哪裡。 由微積分基本定理，每一條弦的斜率都是導數的平均值：

   $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt$

   $f'$ 在一個正長度區間上的平均值不可能超過 $f'$ 的上確界，而且只有在 $f'$ 於該區間上為常數時才會等於上確界。所以如果 $f'$ 在單一點 $\xi$ 處取得嚴格最大值，那個值 $f'(\xi)$ 就永遠不會是某條弦的斜率。

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   舉出反例。 取

   $f(x)=\arctan x,\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad f''(x)=\frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$

   這個 $f$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上二次可微（其實是無窮次可微），符合題目的要求。

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   證明 f′(0) = 1 這個值取不到。 對任意 $x_1<x_2$，

   $\frac{\arctan x_2-\arctan x_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{1+t^{2}}<\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}1\,dt=1$

   這個不等式是嚴格的，因為對所有 $t\neq 0$ 都有 $\tfrac{1}{1+t^{2}}<1$，而單獨一個點無法讓兩個積分相等。所以沒有任何一條弦的斜率能達到 $1=f'(0)$。

   $\boxed{\text{此敘述為假；}f(x)=\arctan x\text{ 搭配 }\xi=0\text{ 即為反例}}$

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   核對數字。 $\arctan$ 最大的弦斜率來自跨過 $0$ 的短區間：對 $[-h,h]$ 而言斜率是 $\tfrac{2\arctan h}{2h}=\tfrac{\arctan h}{h}$，在 $h=0.1$ 時等於 $0.9967$，在 $h=0.01$ 時等於 $0.99997$ —— 逼近 $1$ 但永遠達不到。

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   說明什麼時候這個敘述確實成立。 如果 $f'$ 在 $\xi$ 處取的值不是孤立極值 —— 例如 $f'$ 單調，或 $f'(\xi)$ 嚴格落在 $\inf f'$ 與 $\sup f'$ 之間 —— 那麼把中間值定理用在弦斜率函數上，確實能找出合適的 $x_1,x_2$。失敗的情形只侷限在 $f'$ 於嚴格整體極值處的那些值。