求 2/x − 1/x² 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   用線性性質把積分拆開。 積分對差有分配律，常數也可以提到前面：

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x^2}$

   定義域是 $x\neq0$，而原函數在 $(-\infty,0)$ 與 $(0,\infty)$ 上分別有效。

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   處理第一項——冪次法則的例外。 把 $\tfrac1x=x^{-1}$，一般公式 $\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ 會除以 $n+1=0$。這正是 $n=-1$ 成為唯一例外的原因：

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   絕對值讓它在 $x$ 為負時也照樣成立。所以第一項貢獻 $2\ln|x|$。

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   第二項用一般的冪次法則處理。 這裡 $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$、$n=-2$，於是 $n+1=-1\neq0$，標準法則適用：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

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   把第二個積分前面的負號套上去。 被積函數帶的是 $-\tfrac{1}{x^2}$，所以

   $-\int x^{-2}dx=-\left(-\frac1x\right)=+\frac1x$

   負負得正這一步，是最常被漏掉的地方。

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   合併成一個原函數。

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\ln|x|+\frac1x+C$

   注意兩個表面上很像的項，竟然產生了完全不同型別的函數——一個是對數，一個是有理式。

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   微分回去驗證。 $\dfrac{d}{dx}\left[2\ln|x|+\tfrac1x\right]=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ ✓。數值上，在 $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ 處的對稱差商與被積函數吻合到五位數字 ✓，其中包含了一個絕對值真正起作用的負 $x$。