求 4x²z³y 的三重積分，x 從 0 到 1、y 從 1 到 2、z 從 1 到 2。

Step-by-step solution

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   從微分符號讀出積分次序。 微分符號依序寫成 $dx\,dy\,dz$，所以最內層的變數是 $x$（範圍 $0$ 到 $1$），接著是 $y$（範圍 $1$ 到 $2$），最後是 $z$（範圍 $1$ 到 $2$）。六個上下限全是常數，所以這是在長方體上的積分，不牽涉任何邊界曲線。

2. 2

   對 x 積分。 把 $z^{3}$ 與 $y$ 當常數，$\int_{0}^{1}4x^{2}z^{3}y\,dx=4z^{3}y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{4}{3}z^{3}y .$

3. 3

   對 y 積分。 現在 $\frac43 z^{3}$ 相對於 $y$ 是常數：$\int_{1}^{2}\frac{4}{3}z^{3}y\,dy=\frac{4}{3}z^{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{4}{3}z^{3}\cdot\frac{3}{2}=2z^{3}.$

4. 4

   對 z 積分。 $\int_{1}^{2}2z^{3}\,dz=\left[\frac{z^{4}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.$

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   用因子分離再驗算一次。 因為被積函數可以分解成 $4\cdot x^{2}\cdot y\cdot z^{3}$，而長方體的上下限都是常數，所以整個積分等於三個單變數積分的乘積：$4\cdot\frac13\cdot\frac32\cdot\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$，與逐層積分的結果相符。