求 f(x) = x · cos(x + 3) + 7 的導數。

Step-by-step solution

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   把函數拆成幾塊。 微分具有線性，所以可以分開處理 $x\cos(x+3)$ 與常數 $7$。任何常數的導數都是 $0$，所以 $+7$ 什麼也不貢獻 —— 它只把圖形上下平移，不改變任何斜率。

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   對第一項架起乘法律。 取 $u = x$ 與 $v = \cos(x+3)$：

   $\frac{d}{dx}\left[uv\right] = u'v + uv'$

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   分別微分兩個因式。 $u' = 1$。至於 $v$，連鎖律給出

   $v' = -\sin(x+3)\cdot\frac{d}{dx}(x+3) = -\sin(x+3)\cdot 1 = -\sin(x+3)$

   內導數是 $1$，因為引數只是單純的平移；若換成 $\cos(3x+3)$，就會多出一個因子 $3$。

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   組出導數。

   $f'(x) = 1\cdot\cos(x+3) + x\left(-\sin(x+3)\right) = \cos(x+3) - x\sin(x+3)$

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   在方便的點做檢查。 在 $x = -3$ 處引數為 $0$，所以 $f'(-3) = \cos 0 - (-3)\sin 0 = 1$。步長 $10^{-6}$ 的 $f$ 中央差分在 $x = -3$ 也回傳 $1.000000$。在 $x = 0$ 處：$f'(0) = \cos 3 = -0.989992$，與數值導數吻合到小數點後六位。