計算 1 對 x 從 0 積到 2π 的定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先從幾何意義來理解這個積分。 $y=1$ 的圖形是一條高度為 $1$ 的水平線，所以這個積分就是在區間 $[0,2\pi]$ 上、高度為 $1$ 的矩形面積。面積等於底乘高，也就是區間的長度——換句話說，還沒開始算微積分，就知道答案應該是 $2\pi$。

2. 2

   找一個反導函數。 我們要找滿足 $F'(x)=1$ 的 $F$，而

   $\frac{d}{dx}(x)=1$

   所以 $F(x)=x$ 就可以了。（這其實是 $n=0$ 的冪次法則：$\int x^0dx=\tfrac{x^1}{1}$。）

3. 3

   套用微積分基本定理。

   $\int_{0}^{2\pi}1\,dx=\Bigl[x\Bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi-0=2\pi$

4. 4

   寫出數值。

   $2\pi=6.283185307\ldots\approx6.2832$

5. 5

   留意這題示範的一般規則。 對任何常數 $c$ 與上下限 $a<b$，

   $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$

   所以被積函數為 $1$ 時量的就是長度，這正是 $\int_a^b1\,dx$ 會在應用題裡以「總時間」或「總質量」這類項出現的原因——也是這裡的上限 $2\pi$（剛好一整圈）在三角函數的題目裡不斷出現的原因。

6. 6

   回頭核對矩形的讀法。 高度 $1$ 乘上底 $2\pi-0=2\pi$ 得到 $2\pi$ ✓，和微積分基本定理算出來的結果完全一致。