求延遲微分方程式 f′(x) = f(x − 1) 的指數形式解。

Step-by-step solution

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   先看清這個方程式特別在哪裡。 在 $x$ 處的導數取決於早一個單位時的函數值，所以這是一個延遲微分方程式，而不是常微分方程式。指數試解依然可行，只是得到的特徵方程式不會是多項式。

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   代入 $f(x)=e^{rx}$。 於是 $f'(x)=re^{rx}$，而延遲的那一項會多出一個常數因子：

   $f(x-1)=e^{r(x-1)}=e^{-r}e^{rx}$

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   約掉 $e^{rx}$，得到特徵方程式。

   $re^{rx}=e^{-r}e^{rx}\quad\Longrightarrow\quad r=e^{-r}\quad\Longrightarrow\quad re^{r}=1$

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   用 Lambert W 函數解 $re^r=1$。 依定義，$W$ 是 $w\mapsto we^{w}$ 的反函數，所以

   $r=W(1)\approx 0.5671432904$

   這個數就是 Omega 常數。它沒有初等的封閉形式，而這正是延遲方程式的典型特徵。

5. 5

   寫出解，並指出它有無窮多個分支。 實數的指數解是

   $f(x)=Ce^{W(1)x}\approx Ce^{0.567143x}$

   而且因為 $re^r=1$ 還有無窮多個複數根 $r_k=W_k(1)$，一般形式是疊加 $f(x)=\sum_k C_ke^{W_k(1)x}$，其中共軛複數對要成對合併才能保持實數值。

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   把這個常數用數值驗算一次。 取 $r=0.5671432904$：$re^{r}=0.5671432904\times 1.763222834=1.000000000$ $\checkmark$，同樣地 $e^{-r}=0.567143=r$ $\checkmark$。代回原式，$f'(x)=rCe^{rx}$ 而 $f(x-1)=Ce^{rx}e^{-r}=rCe^{rx}$，兩者完全相等。