求微分方程式 y″ − a·y′ + b·y = 0 的通解，其中 a 與 b 都是常數。

Step-by-step solution

1. 1

   導出特徵方程式。 試 $y = e^{rx}$ 得 $y' = re^{rx}$ 與 $y'' = r^2e^{rx}$，所以

   $e^{rx}\left(r^2 - ar + b\right) = 0$

   由於 $e^{rx}$ 永不為零，指數必須滿足

   $r^2 - ar + b = 0$

   注意正負號：中間項的係數是 $-a$，所以特徵方程式帶的是 $-ar$ 而不是 $+ar$。

2. 2

   解出 r 並找出判別式。

   $r = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$

   接下來一切都取決於 $D = a^2 - 4b$ 的正負，這也是答案必然分成三種情形的原因。

3. 3

   情形 D > 0：兩個相異實根。 取 $r_{1,2} = \tfrac{a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$，

   $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$

   這兩個指數函數彼此獨立，因為 $r_1 \ne r_2$。

4. 4

   情形 D = 0：一個重根。 此時 $r = \tfrac{a}{2}$，光靠 $e^{rx}$ 只能得到單參數的解族。第二個獨立解是 $xe^{rx}$：

   $y = \left(C_1 + C_2x\right)e^{ax/2}$

5. 5

   情形 D < 0：一對共軛複數根。 寫成 $r = \tfrac{a}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$，再取實部與虛部：

   $y = e^{ax/2}\left(C_1\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right) + C_2\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right)\right)$

   實部 $\tfrac{a}{2}$ 掌控成長或衰減；虛部則決定頻率。

6. 6

   檢驗一個具體例子。 取 $a = 3$、$b = 2$：則 $D = 9 - 8 = 1 > 0$，根為 $r = 2$ 與 $r = 1$，而 $y = C_1e^{2x} + C_2e^{x}$。代入 $y = e^{2x}$：$4e^{2x} - 3(2e^{2x}) + 2e^{2x} = 0$。正確。再取 $a = 0$、$b = 4$：$D = -16 < 0$，得到 $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$，正是我們熟悉的 $y'' + 4y = 0$ 的解。