求 (x² − 3x + 2) / (√(5 − x) − √(x + 1)) 在 x 趨近 2 時的極限。

Step-by-step solution

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   確認是不定型。 代入 $x=2$：分子是 $4-6+2=0$，分母是 $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$。所以這個式子是 $\tfrac00$ 型——目前還沒有值，但共同的零點代表 $(x-2)$ 這個共同因式藏在兩邊，等著被約掉。

2. 2

   把分子因式分解。 乘積為 $2$、和為 $-3$ 的兩個數是 $-1$ 與 $-2$：

   $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

3. 3

   用共軛式把分母有理化。 分子分母同乘 $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}$，把根號之差變成平方差：

   $\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)=(5-x)-(x+1)=4-2x$

   根號完全消失，留下一個一次式，而它明顯含有那個惱人的零點：$4-2x=-2(x-2)$。

4. 4

   約掉共同因式。 式子變成

   $\frac{(x-1)(x-2)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{-2(x-2)}=-\frac{(x-1)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}$

   它對 $x\neq2$ 成立——而求極限所需要的也就只有這些，因為極限描述的是該點附近的行為，不是該點上的值。這個代數形式已在 $x=1.5,1.9,2.1,2.5$ 與原式比對過，吻合到 $10^{-9}$ ✓。

5. 5

   奇異點消失了，現在可以直接代入。 化簡後的函數在 $x=2$ 是連續的：

   $-\frac{(2-1)\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$

6. 6

   從兩側用數值驗證。 在 $x=2\pm10^{-7}$ 時原本的商算出 $-1.73205097$ 與 $-1.73205063$，把 $-\sqrt{3}=-1.7320508$ 夾在中間 ✓。兩側一致，確認極限存在而且等於

   $-\sqrt{3}\approx-1.7321$