在區間 2 到 5 上，用 6 個矩形的左端點與右端點分別求出 f(x) = 2x 平方減 x 減 1 的圖形與 x 軸之間區域面積的兩個近似值。

Step-by-step solution

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   先確認這個區域真的是曲線下的面積。 $f$ 的根為 $x=1$ 與 $x=-\tfrac12$，兩者都在區間左邊，而 $f(2)=5>0$。所以在 $[2,5]$ 上 $f>0$，矩形直接量的就是面積，不必擔心正負號翻轉。

2. 2

   算出每個矩形的寬。 把區間切成 $n$ 等份得

   $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{5-2}{6}=\frac12$

   所以分割點是 $2,\ \tfrac52,\ 3,\ \tfrac72,\ 4,\ \tfrac92,\ 5$。

3. 3

   在每個分割點各算一次 $f$。 左和與右和用的是同一組七個值，只算一次可以省下一半工夫：

   $f(2)=5,\quad f\!\left(\tfrac52\right)=9,\quad f(3)=14,\quad f\!\left(\tfrac72\right)=20,\quad f(4)=27,\quad f\!\left(\tfrac92\right)=35,\quad f(5)=44$

4. 4

   用前六個值組出左和。 左端點法則取每一條的左邊界的值，所以捨掉 $f(5)$：

   $L_6=\tfrac12\,(5+9+14+20+27+35)=\tfrac12(110)=55$

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   用後六個值組出右和。 右端點法則捨掉 $f(2)$、補進 $f(5)$：

   $R_6=\tfrac12\,(9+14+20+27+35+44)=\tfrac12(149)=74.5$

   注意 $R_6-L_6=\tfrac12\big(f(5)-f(2)\big)=\tfrac12(39)=19.5$ —— 兩個和只差在頭尾兩項。

6. 6

   把兩個數字解讀成上下夾擊。 $f$ 在 $[2,5]$ 上遞增，所以每個左矩形都在曲線下方、每個右矩形都超出曲線。因此真正的面積滿足 $55<A<74.5$。精確積分得

   $A=\int_2^5\left(2x^2-x-1\right)dx=\frac{129}{2}=64.5$

   確實落在兩者之間。