求 n 從 1 到無窮時 x^(n-1)/n 的總和。

Step-by-step solution

1. 1

   平移指數以湊出標準級數。 我們熟悉的恆等式分子上是 $x^{n}$，不是 $x^{n-1}$。當 $x\neq 0$ 時，把整個和式提出一個 $x$：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

   限制條件 $x\neq 0$ 是在這裡引入的，稍後必須回頭處理。

2. 2

   用對數級數。 把幾何級數 $\sum_{n\ge 0}t^{n}=\dfrac{1}{1-t}$ 從 $0$ 到 $x$ 逐項積分，得到

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x),\qquad |x|<1$

3. 3

   除以 $x$ 得到封閉形式。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad 0<|x|<1$

4. 4

   單獨處理 $x=0$。 原級數在 $x=0$ 處是 $\dfrac{0^{0}}{1}+0+0+\cdots$，首項是有歧義的 $0^{0}$；封閉形式同樣落到 $\tfrac00$。兩者都靠取極限來解決：

   $\lim_{x\to 0}\frac{-\ln(1-x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1/(1-x)}{1}=1$

   這用的是羅必達法則。所以 $x=0$ 是可去奇異點，該處的自然值是 $1$。

5. 5

   寫出完整的答案。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\begin{cases}-\dfrac{\ln(1-x)}{x},&0<|x|<1\\[4pt]1,&x=0\end{cases}$

   數值上取 $x=0.4$，400 項的部分和給出 $1.27706405941$，而 $-\ln(0.6)/0.4=1.27706405941$ ✓。