求 (x^3 cos(x/2) + 1/2) 乘 (4 - x^2) 的平方根，從 x = -2 到 x = 2 的定積分。

Step-by-step solution

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   先把積分拆開，不要急著找反導函數。 因式 $x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}$ 沒有初等反導函數，所以無論代換或分部積分都注定失敗。既然積分區間對 $0$ 對稱，就改成拆開處理：

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx+\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

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   用奇偶性判斷第一部分。 $x^{3}$ 是奇函數；$\cos\frac{x}{2}$ 是偶函數；$\sqrt{4-x^{2}}$ 也是偶函數。奇 $\times$ 偶 $\times$ 偶為奇，所以整個被積分函數滿足 $f(-x)=-f(x)$。在對稱區間上，任何奇函數的積分都是零，因為 $[-2,0]$ 上的有向面積剛好抵掉 $[0,2]$ 上的有向面積：

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0.$

   這正是本題的用意——那個看起來很難的項只是誘餌。

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   認出第二部分是半圓。 曲線 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 等價於 $x^{2}+y^{2}=4$ 且 $y\ge 0$：也就是半徑 $2$ 的圓的上半部。所以這個積分是幾何面積，不需要去找反導函數：

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi.$

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   組合回去。 把半圓面積乘上常數 $\tfrac12$，再加上那個消失的奇函數部分：

   $\int_{-2}^{2}\left(x^{3}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0+\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.$

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   用數值方法檢查。 在 $[-2,2]$ 上用複合辛普森法，完整被積分函數算出 $3.1415926$，而單獨的奇函數部分算出 $2\times10^{-16}$，同時印證了精確值 $\pi\approx 3.14159$ 與「奇函數相消」的論證。