對 y = cos(√(2x + 1)) 微分。

Step-by-step solution

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   辨認層次與定義域。 這個函數是三重合成：$y=\cos u$，其中 $u=\sqrt{v}$、$v=2x+1$。要讓 $y$ 有定義，需要 $2x+1\ge 0$，也就是 $x\ge-\frac12$；而導數會需要嚴格不等式 $x>-\frac12$，因為 $\sqrt{v}$ 在 $v=0$ 處的斜率是無窮大。

2. 2

   微分最外層。

   $\frac{dy}{du}=-\sin u=-\sin\sqrt{2x+1}$

   負號來自餘弦的導數，千萬不能弄丟。

3. 3

   微分內層的平方根，這裡要再用一次連鎖律。 把 $\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}$ 寫出來，

   $\frac{du}{dx}=\frac12(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

   由 $\frac{d}{dx}(2x+1)$ 得到的因子 $2$ 剛好抵掉冪次法則的 $\frac12$ —— 這是係數恰為 $2$ 時才有的巧合。

4. 4

   把兩個變化率相乘。

   $y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=-\sin\sqrt{2x+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x+1}}=-\frac{\sin\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$

5. 5

   數值驗算並檢視端點。 在 $x=4$：$\sqrt{9}=3$，所以 $y'=-\frac{\sin 3}{3}=-\frac{0.1411200}{3}=-0.0470400$，而 $\cos\sqrt{2x+1}$ 在 $x=4$ 的中央差分也給出 $-0.0470400$ ✓。在 $x=-\frac12$ 處函數有定義（$y=\cos 0=1$），但分母為零，所以圖形有鉛直切線，$y'$ 在該點不存在。