求平面 z = −2x + 4y + 1 位於區域 0 ≤ x ≤ 3、0 ≤ y ≤ 5 上方那一塊的曲面面積，並給出精確值。

Step-by-step solution

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   回想曲面面積公式。 對區域 $R$ 上的圖形 $z=f(x,y)$，$S=\iint_R\sqrt{1+f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\,dA.$

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   把平面微分。 取 $f(x,y)=-2x+4y+1$，處處都有 $f_x=-2$ 與 $f_y=4$。因為 $f$ 是線性的，這兩個偏導數是常數——這正是讓積分變得毫無難度的原因。

3. 3

   算出被積函數。 $\sqrt{1+(-2)^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.$ 注意 $f_x$ 的正負號一旦平方就無關緊要了。

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   把常數提到積分外。 $S=\iint_R\sqrt{21}\,dA=\sqrt{21}\iint_R dA=\sqrt{21}\cdot\operatorname{面積}(R).$

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   算出底面積並收尾。 這個矩形的面積是 $3\times 5=15$，所以 $S=15\sqrt{21}\approx 68.7386.$ 從幾何上看，$\sqrt{21}$ 就是傾斜平面把水平面積拉伸的固定倍率。