計算 theta 從 pi/4 到 pi/2、rho 從 2 sin theta 到 2 的二重積分，被積函數是 rho 平方乘上 sin theta。

Step-by-step solution

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   讀出幾何意義。 在極座標中面積元素是 $\rho\,d\rho\,d\theta$，所以 $\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta = (\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta = y\,dA$。這個區域夾在圓 $\rho=2\sin\theta$（也就是 $x^2+(y-1)^2=1$）與圓 $\rho=2$ 之間，$\theta$ 從 $\tfrac{\pi}{4}$ 到 $\tfrac{\pi}{2}$，所以這個積分就是該區域對 $x$ 軸的一次矩。

2. 2

   對 rho 積分，把 sin(theta) 固定不動。 $\int_{2\sin\theta}^{2}\rho^2\,d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{2\sin\theta}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{8\sin^3\theta}{3}.$ 再乘上 $\sin\theta$ 得到 $\tfrac83\left(\sin\theta-\sin^4\theta\right)$。

3. 3

   算出正弦那一項。 $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \left[-\cos\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = 0+\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

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   把 sin^4(theta) 降成餘弦的線性組合。 $\sin^2\theta = \tfrac{1-\cos2\theta}{2}$ 與 $\cos^2 2\theta = \tfrac{1+\cos4\theta}{2}$，所以 $\sin^4\theta = \frac{3-4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}.$ 奇數次冪可以用代換處理，但偶數次冪就得靠降冪。

5. 5

   把降冪後的式子積出來。 $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^4\theta\,d\theta = \frac18\left[3\theta-2\sin2\theta+\frac{\sin4\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac18\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)\right) = \frac{3\pi}{32}+\frac14.$

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   組出答案。 $\frac83\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{3\pi}{32}-\frac14\right) = \frac{4\sqrt2}{3}-\frac{\pi}{4}-\frac23 \approx 0.433553.$ 直接對 $\tfrac83(\sin\theta-\sin^4\theta)$ 在 $\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]$ 上做數值求積得到 $0.4335532531$，證實了這個結果。