求積分 ∫ 2dy 除以 (−2y)。

Step-by-step solution

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   先把數字常數約掉。 分子的 $2$ 與分母的 $-2$ 約成 $-1$：

   $\int \frac{2}{-2y}\,dy = \int \left(-\frac{1}{y}\right)dy$

   在積分之前先約分，可以免得把這些因子一路帶進反導函數裡。

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   把常數提到積分符號外。 常數可以直接穿過積分符號：

   $\int \left(-\frac{1}{y}\right)dy = -\int \frac{1}{y}\,dy$

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   用倒數的積分公式。

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C$

   絕對值很關鍵：$\tfrac1y$ 在 $y$ 為負時同樣有定義，而那裡 $\tfrac{d}{dy}\ln(-y) = \tfrac{-1}{-y} = \tfrac1y$。只寫 $\ln y$ 會把答案限制在 $y > 0$。另外注意冪次法則 $\int y^n dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1}$ 在這裡失效，因為 $n = -1$ 會導致除以零。

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   把答案寫出來。

   $\int \frac{2\,dy}{-2y} = -\ln|y| + C$

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   求導檢驗，並留意一種等價寫法。 $\tfrac{d}{dy}\left(-\ln|y|\right) = -\tfrac1y$，與被積函數一致。由於 $-\ln|y| = \ln|y|^{-1}$，結果也可以寫成 $\ln\left|\tfrac{1}{y}\right| + C$。順帶一提，用分離變數法解衰減方程式 $\tfrac{dy}{dx} = -2y$ 時，左邊出現的正是這個積分。