計算當 x 趨近 0 時，(1 + tan 5x − cos x) 除以 (1 − x² 的平方根，減去 1 + x 的五次方根) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   確認是 0/0 形式。 在 $x = 0$ 時分子是 $1 + \tan 0 - \cos 0 = 1 + 0 - 1 = 0$，分母是 $\sqrt{1} - 1 = 0$。兩者都變成零，所以要把級數展開到第一個存活下來的階數，才能定出極限。

2. 2

   展開分子。 對 $u = 5x$ 使用 $\tan u = u + O(u^3)$，並用 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$：

   $1 + \tan 5x - \cos x = 1 + 5x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + O(x^3) = 5x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

   常數 $1$ 與 $-1$ 互相抵消，留下最低次項 $5x$——一次。

3. 3

   用廣義二項式級數展開分母。 由 $(1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + O(u^2)$：

   $\sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

   $(1 + x)^{1/5} = 1 + \frac{x}{5} + O(x^2)$

   關鍵的不對稱在於：平方根沒有一次項（它的引數是 $-x^2$），而五次方根有。

4. 4

   相減，找出分母最低階的行為。

   $\sqrt{1 - x^2} - (1 + x)^{1/5} = \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 + \frac{x}{5}\right) + O(x^2) = -\frac{x}{5} + O(x^2)$

   所以分母也是一次的，而且對很小的 $x > 0$ 是負的。

5. 5

   約掉一個 x 之後求值。

   $\lim_{x \to 0} \frac{x\left(5 + O(x)\right)}{x\left(-\frac{1}{5} + O(x)\right)} = \frac{5}{-\frac{1}{5}} = -25$

6. 6

   從兩側用數值確認。 在 $x = 10^{-5}$ 時這個商是 $-24.99950$，在 $x = -10^{-5}$ 時是 $-25.00050$；在 $x = \pm 10^{-6}$ 時值收緊到 $-24.99995$ 與 $-25.00005$。雙側極限是 $-25$。