對 y = (e^x + 1)/x³ 微分。

Step-by-step solution

1. 1

   把商改寫成乘積。 把 $x^3$ 用負指數搬到分子上，就能避開除法律那個笨重的分母：

   $y=(e^x+1)\,x^{-3}$

   定義域要排除 $x=0$，原函數在那裡沒有定義。

2. 2

   架好乘法律。 取 $u=e^x+1$ 與 $v=x^{-3}$，

   $u'=e^x,\qquad v'=-3x^{-4}$

   注意是 $u'=e^x$ 而不是 $e^x+1$ —— 常數 $1$ 的導數是零。

3. 3

   套用 $(uv)'=u'v+uv'$。

   $y'=e^x\cdot x^{-3}+(e^x+1)\left(-3x^{-4}\right)=\frac{e^x}{x^3}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}$

4. 4

   把兩項通分到公分母 $x^4$。 第一項乘上 $\tfrac{x}{x}$：

   $y'=\frac{x e^x}{x^4}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}=\frac{x e^x-3e^x-3}{x^4}$

5. 5

   把指數函數提出來，得到最乾淨的形式。

   $y'=\frac{e^x(x-3)-3}{x^4}$

   落單的 $-3$ 沒辦法併進括號裡，因為它來自對分子那個常數 $1$ 微分。

6. 6

   在幾個點做數值驗算。 與步長 $10^{-6}$ 的對稱差商相比：在 $x=0.6$ 兩者都得 $-56.8911$；在 $x=1.7$ 兩者都得 $-1.21121$；在 $x=-2.2$ 兩者都得 $-0.152661$ ✓，其中還包含一個負的 $x$，那正是奇次冪 $x^3$ 會起作用的地方。