計算 sin²(x) cos⁴(x) dx 從 x = π/8 到 x = π/12 的定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意到上下限是反過來的。 下限 $\tfrac{\pi}{8}=0.3927$ 比上限 $\tfrac{\pi}{12}=0.2618$ 還大。而 $\sin^2x\cos^4x\ge 0$ 處處成立，所以答案必定是負的：

   $\int_{\pi/8}^{\pi/12}=-\int_{\pi/12}^{\pi/8}$

   先把正負號判斷出來，是驗算最後那個數字最省力的方法。

2. 2

   用二倍角公式降冪。 兩個指數都是偶數，所以正確的工具是降冪公式，而不是 $u$ 代換：

   $\sin^2x\cos^4x=\frac{1-\cos 2x}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{(1+\cos 2x)\left(1-\cos^2 2x\right)}{8}=\frac{\sin^2 2x+\sin^2 2x\cos 2x}{8}$

   這樣拆是刻意的：第一塊還要再降一次冪，第二塊則剛好是一個完美的 $u$ 代換。

3. 3

   逐項求反導函數。 第一塊用 $\sin^2 2x=\tfrac{1-\cos 4x}{2}$，第二塊令 $u=\sin 2x$，

   $\int\sin^2 2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 4x}{8},\qquad \int \sin^2 2x\cos 2x\,dx=\frac{\sin^3 2x}{6}$

   所以

   $F(x)=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+\frac{\sin^3 2x}{48}$

4. 4

   代入兩個端點。 在 $x=\tfrac{\pi}{12}$ 時：$\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$，所以

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{192}-\frac{\sqrt3}{128}+\frac{1}{384}$

   在 $x=\tfrac{\pi}{8}$ 時：$\sin\tfrac{\pi}{2}=1$、$\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$，於是 $\sin^3\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{4}$，而

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{128}-\frac{1}{64}+\frac{\sqrt2}{192}$

5. 5

   相減並通分到 384。

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)-F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=-\frac{\pi}{384}+\frac{7}{384}-\frac{3\sqrt3}{384}-\frac{2\sqrt2}{384}=\frac{7-\pi-3\sqrt3-2\sqrt2}{384}$

   換成數值：$7-3.14159-5.19615-2.82843=-4.16617$，再除以 $384$ 得到 $\approx -0.010849$——是負的，正如上下限顛倒所預期。直接對原被積函數在同樣顛倒的區間上做數值積分，得到 $-0.0108494$ $\checkmark$。