求不定積分 ∫ cos x · sin(5 sin x + 2) dx。

Step-by-step solution

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   先找出一個導數已經現成出現在式子裡的內層函數。 合成的那一塊是 $\sin\left(5\sin x+2\right)$，內層函數為 $5\sin x+2$，它的導數是 $5\cos x$；而 $\cos x$ 正好擺在合成函數外面——這正是變數代換專門用來對付的形態。

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   做變數代換。 令

   $u=5\sin x+2\quad\Longrightarrow\quad du=5\cos x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx=\frac{1}{5}\,du$

   解出來的是 $\cos x\,dx$（而不是單獨解出 $dx$），這才能讓所有的 $x$ 都消失乾淨。

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   把積分整個改寫成關於 u 的式子。

   $\int \sin(u)\cdot\frac15\,du=\frac15\int\sin u\,du$

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   積出來。

   $\frac15\int\sin u\,du=\frac15(-\cos u)+C=-\frac{\cos u}{5}+C$

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   代換回原來的變數。

   $\boxed{-\frac{1}{5}\cos\left(5\sin x+2\right)+C}$

6. 6

   求導驗算。 由連鎖律，

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac15\cos\left(5\sin x+2\right)\right]=-\frac15\cdot\left(-\sin\left(5\sin x+2\right)\right)\cdot 5\cos x=\cos x\,\sin\left(5\sin x+2\right)$

   正是原來的被積函數 ✓。注意兩個 $5$ 恰好抵消——這提醒我們答案裡的 $\tfrac15$ 可不是可有可無的。