求 a 與 b 的值，使分段函數 f 連續；其中 x ≤ −2 時 f(x) = x + 7a，−2 < x < 1 時 f(x) = 7ax + b，x ≥ 1 時 f(x) = x − 7b。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認連續性可能在哪裡失效。 三個分支各自都是多項式，所以在各自的適用範圍內處處連續。問題只可能出在公式切換的兩個分段點 $x=-2$ 與 $x=1$。在分段點連續，意思是左極限、右極限與函數值三者一致——在這裡就化簡成讓相鄰的兩個公式在該點取值相同。兩個分段點給出兩條方程式，恰好對應兩個未知數。

2. 2

   寫出 $x=-2$ 處的銜接條件。 $x=-2$ 歸第一個分支管，所以 $f(-2)=-2+7a$。右極限則由中間那個分支提供：

   $\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=7a(-2)+b=-14a+b$

   令兩者相等：

   $-2+7a=-14a+b\ \Longrightarrow\ 21a-b=2\ \Longrightarrow\ b=21a-2$

3. 3

   寫出 $x=1$ 處的銜接條件。 左極限由中間分支提供，而 $x=1$ 歸第三個分支管：

   $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=7a+b,\qquad f(1)=1-7b$

   令兩者相等：

   $7a+b=1-7b\ \Longrightarrow\ 7a+8b=1$

4. 4

   用代入法解這組二元聯立方程式。 把 $b=21a-2$ 代進 $7a+8b=1$：

   $7a+8(21a-2)=1\ \Longrightarrow\ 7a+168a-16=1\ \Longrightarrow\ 175a=17\ \Longrightarrow\ a=\frac{17}{175}$

5. 5

   回代求 $b$ 並約分。 用 $b=21a-2$，其中 $21\cdot 17=357$：

   $b=\frac{357}{175}-2=\frac{357}{175}-\frac{350}{175}=\frac{7}{175}=\frac{1}{25}$

6. 6

   用精確分數檢查兩個銜接點。 取 $a=\tfrac{17}{175}$、$b=\tfrac{1}{25}$：在 $x=-2$ 處左邊分支給出 $-2+7a=-\tfrac{33}{25}$，中間分支給出 $-14a+b=-\tfrac{33}{25}$；在 $x=1$ 處中間分支給出 $7a+b=\tfrac{18}{25}$，右邊分支給出 $1-7b=\tfrac{18}{25}$。兩組都以分數形式完全吻合，所以 $f$ 處處連續。