求當 x 趨於 1 時 (1 - x)/(√(5 - x²) - 2) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判斷類型。 在 $x=1$ 處分子是 $0$，分母是 $\sqrt{4}-2=0$，所以這是 $\frac{0}{0}$ 型，必須先做代數變形。

2. 2

   要有理化的是分母，不是分子。 這一回根號在下面，所以分子分母同乘 $\sqrt{5-x^2}+2$。分母就變成了 $\left(5-x^2\right)-4=1-x^2$。

3. 3

   把整個分式重寫一遍。 現在式子是 $\frac{(1-x)\left(\sqrt{5-x^2}+2\right)}{1-x^2}$。

4. 4

   因式分解並約分。 由於 $1-x^2=(1-x)(1+x)$，那個礙事的 $(1-x)$ 被約掉，對所有 $x\neq 1$ 都只剩下 $\frac{\sqrt{5-x^2}+2}{1+x}$。

5. 5

   代入 $x=1$。 化簡後的式子在 $1$ 處連續：$\frac{\sqrt{4}+2}{2}=\frac{4}{2}=2$。

6. 6

   數值確認。 在 $x=1+10^{-8}$ 處直接計算原式，得到 $2.0000$，與代數結果完全吻合。