對 y = −(1/2)sin(3.14/3 − x²)，說明定義域並求 dy/dx。

Step-by-step solution

1. 1

   先寫出定義域。 正弦函數接受任何實數輸入，而 $\frac{3.14}{3}-x^{2}$ 是對所有 $x$ 都有定義的多項式，所以這個合成函數處處有定義：

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}.$

   這裡的 $3.14$ 是一個小數常數（在以逗號當小數點的記法中寫作 $3{,}14$），不是 $\pi$ —— 對微分沒有差別，但若之後要數值求解 $y=0$ 就有關係了。

2. 2

   辨認內層與外層函數。 令

   $u=\frac{3.14}{3}-x^{2},\qquad y=-\frac12\sin u.$

   把內層函數明確命名，才能讓連鎖律不出錯；常數 $-\tfrac12$ 只是一路跟著當乘數。

3. 3

   微分外層函數。 因為 $\frac{d}{du}\sin u=\cos u$，

   $\frac{dy}{du}=-\frac12\cos u.$

   常數倍法則讓 $-\tfrac12$ 原封不動地穿過導數。

4. 4

   微分內層函數再相乘。 常數 $\frac{3.14}{3}$ 微分後為 $0$，所以

   $\frac{du}{dx}=-2x,$

   再由連鎖律

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\left(-\frac12\cos u\right)(-2x)=x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right).$

   兩個負號互相抵消，$\tfrac12$ 也與 $2$ 對消，這就是為什麼漂亮的答案係數恰好是 $1$。

5. 5

   數值檢查並註明臨界點。 在 $x=1.1$ 處 $y$ 的中央差分給出 $1.0853598$，而 $x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=1.0853598$ ✓。導數在 $x=0$ 或 $\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=0$ 時為零，也就是 $x^{2}=\frac{3.14}{3}-\frac{\pi}{2}-k\pi$ —— 所以 $x=0$ 永遠是臨界點，其餘的則按餘弦的零點等距分布。