求 (x − 1) / (x² − 2x + 3)² 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先看分母底式的導數。 在動用部分分式之前，先對被平方的那個式子求導：

   $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x+3\right)=2x-2=2(x-1)$

   分子 $x-1$ 恰好是它的一半。只要分子是內層導數的常數倍，代換就能一行解決這個積分——不用配方，也用不上反正切。

2. 2

   做代換。 令

   $u=x^2-2x+3,\qquad du=2(x-1)\,dx\quad\Longrightarrow\quad (x-1)\,dx=\tfrac12\,du$

   整個 $(x-1)\,dx$ 一次性被替換掉，所以式子裡不會殘留任何 $x$。

3. 3

   把積分改寫成 $u$ 的形式。

   $\int\frac{x-1}{(x^2-2x+3)^2}\,dx=\frac12\int \frac{du}{u^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du$

4. 4

   對冪函數積分。 用冪次法則 $\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$，取 $n=-2$：

   $\frac12\int u^{-2}\,du=\frac12\cdot\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2u}$

5. 5

   代換回原變數，並補上常數。

   $\int \frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\,dx=-\frac{1}{2\left(x^2-2x+3\right)}+C$

   分母 $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ 恆不為零，所以這個反導函數在整個 $\mathbb{R}$ 上都成立。

6. 6

   求導確認。 記 $F(x)=-\tfrac12 u^{-1}$，

   $F'(x)=\tfrac12 u^{-2}u'=\frac{2x-2}{2\left(x^2-2x+3\right)^2}=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\;\checkmark$

   在 $x=2.5$ 處做數值檢驗，$F'(2.5)=0.08304498$，與被積函數完全吻合。