求 (1 + 2x)^(1/2) 在 x = 0 的泰勒級數，寫出一般項，並說明收斂區間。

Step-by-step solution

1. 1

   用二項級數，不要反覆微分。 廣義二項式定理說

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},\qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},$

   對 $|t|<1$ 與任意實數 $\alpha$ 都成立。對照題目：$\alpha=\tfrac12$、$t=2x$。若要手算 $f^{(n)}(0)$，得用四輪連鎖律才走到同一個地方。

2. 2

   算出前幾個係數，並保留 2 的次方。 每一項是 $\binom{1/2}{n}(2x)^{n}$，所以 $2^{n}$ 必須一起帶著：

   $n=1:\ \tfrac12(2x)=x;\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}(4x^{2})=-\tfrac12x^{2};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}(8x^{3})=\tfrac12x^{3};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}(16x^{4})=-\tfrac58x^{4}.$

   漏掉 $2^{n}$ 是最常見的單一錯誤，會得到 $\tfrac18x^{2}$ 而不是 $-\tfrac12x^{2}$。

3. 3

   寫出展開式。 把各項收集起來：

   $\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}-\frac{5x^{4}}{8}+\cdots$

   注意正負號：前兩項之後就開始交錯，因為每個因子 $\left(\tfrac12-k\right)$（$k\ge1$）都是負的。

4. 4

   寫出一般項。 化成封閉形式，

   $\sqrt{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}2^{n}x^{n}=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{n!}\,x^{n},$

   其中 $(2n-3)!!=1\cdot3\cdots(2n-3)$。檢查 $n=4$：$\frac{-1\cdot(1\cdot3\cdot5)}{24}=-\frac{15}{24}=-\frac58$ ✓。

5. 5

   定出收斂區間並做數值檢驗。 二項級數需要 $|t|=|2x|<1$，也就是 $|x|<\tfrac12$；由於 $\alpha=\tfrac12>0$，級數在兩個端點也絕對收斂，所以區間是 $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$。在 $x=0.05$ 處，印出的四項給出 $1.0488086$，對照 $\sqrt{1.1}=1.0488088$ ✓；在 $x=0.1$ 處給出 $1.0954375$，對照 $1.0954451$ ✓ ——誤差隨著 $x$ 接近端點而變大，正如預期。