計算逐次積分：內層對 x 從 √(1 − y²) + 1 積到 y，外層對 y 從 0 積到 1，被積函數是 (y − x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把 $y$ 當常數，做關於 $x$ 的內層積分。 $y-x$ 關於 $x$ 的反導函數是

   $yx-\frac{x^2}{2}$

   注意在 $[0,1]$ 上，下限 $\sqrt{1-y^2}+1$ 至少是 $1$，而上限 $y$ 至多是 $1$，也就是說上下限「反著」排。這沒問題：微積分基本定理照樣成立，只是會帶出一個負號，我們保留它，不去交換上下限。

2. 2

   在兩個端點處取值。 在 $x=y$ 處：$y^2-\tfrac{y^2}{2}=\tfrac{y^2}{2}$。在 $x=\sqrt{1-y^2}+1$ 處，先把平方展開：

   $\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2=(1-y^2)+2\sqrt{1-y^2}+1=2-y^2+2\sqrt{1-y^2}$

   於是下限處的值是 $y\sqrt{1-y^2}+y-1+\tfrac{y^2}{2}-\sqrt{1-y^2}$。

3. 3

   相減，注意 $y^2/2$ 項會互相抵消。 內層積分化簡成

   $1-y+\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-y^2}$

   這個抵消正是本題的關鍵：原本一堆帶根號的雜亂式子，現在變成了四個初等部分。

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   對 $y\in[0,1]$ 逐塊積分。

   $\int_0^1(1-y)\,dy=\frac12$

   $\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac{\pi}{4}\quad\text{（四分之一單位圓的面積）}$

   $\int_0^1 y\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac13\quad\text{（令 }u=1-y^2\text{）}$

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   合併並做數值檢驗。

   $\frac12+\frac{\pi}{4}-\frac13=\frac{\pi}{4}+\frac16$

   數值上 $\pi/4+1/6=0.9520648300641$。在 $y$ 方向取 200 萬個格點求內層積分再平均，得到 $0.9520648300642$——吻合到小數點後十二位 ✓。