計算 tan(2x)/sin(3x) 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   檢查形式。 $\tan 2x$ 與 $\sin 3x$ 在 $x=0$ 時都變成零，所以這個商是 $\frac{0}{0}$。

2. 2

   改寫正切。 用 $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$，把式子變成 $\frac{\sin 2x}{\cos 2x\,\sin 3x}$。餘弦是無害的，因為 $\cos 0=1\neq 0$。

3. 3

   分子分母同除以 $x$。 這個商變成 $\frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\cos 2x\cdot\frac{\sin 3x}{x}}$，於是每個三角部分都成了標準的 $\frac{\sin kx}{x}$ 形狀。

4. 4

   套用標準極限。 由 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$，分子趨近 $2$，因式 $\frac{\sin 3x}{x}$ 趨近 $3$，而 $\cos 2x\to 1$。

5. 5

   合起來。 極限是 $\frac{2}{1\cdot 3}=\frac{2}{3}$。

6. 6

   數值檢查。 在 $x=10^{-6}$ 時原本的商算出 $0.66666667$，與 $\frac{2}{3}$ 相符。