求 y = x² 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   先辨認函數的形式。 $y=x^2$ 是 $x$ 的單一冪次，指數是常數，正好就是冪次法則要處理的情形。不需要乘法律、除法律或連鎖律。

2. 2

   寫下冪次法則。 對任意常數指數 $n$，

   $\frac{d}{dx}x^n=n\,x^{\,n-1}$

   指數變成係數，新的指數則低一次。

3. 3

   取 n = 2 代入。

   $\frac{d}{dx}x^2=2\,x^{2-1}=2x^1=2x$

4. 4

   用極限定義確認。 這個 $2$ 真正的來源就在這裡：

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   令 $h\to0$ 就只剩下 $2x$ ✓。二項展開裡的交叉項 $2xh$ 正是這個係數的唯一來源。

5. 5

   從幾何上解讀結果。 導數 $2x$ 說明拋物線的斜率在頂點 $x=0$ 處為 $0$，左邊為負、右邊為正，並且線性成長 —— 這與 $y=x^2$ 的形狀相符。

6. 6

   抽樣做數值檢查。 在 $x=2.5$ 處公式預測斜率為 $5$；對稱差商 $\frac{f(2.5001)-f(2.4999)}{0.0002}=5.0000$ ✓。