函數 f 二階可微且滿足 f''(x) = 6x - 12。若 f 在 x = 1 有臨界點，則 f 在 x = 1 處必定有什麼性質？

Step-by-step solution

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   把「臨界點」翻譯成方程式。 對可微函數而言，臨界點就是導數為零的地方。這裡不必擔心尖點或鉛直切線，因為 $f$ 二階可微，所以

   $f'(1)=0$

   這個單一事實就是這個詞給你的全部訊息。

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   在該點求出題目給的二階導數。 題目直接把 $f''$ 交給你，所以不需要再作微分：

   $f''(1)=6(1)-12=6-12=-6$

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   把 $f''(1)$ 的正負號解讀成凹性。 二階導數為負表示斜率遞減，所以圖形在 $x=1$ 附近向下彎。既然 $f''(1)=-6<0$，曲線在 $x=1$ 處凹口向下。

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   套用二階導數判別法。 這個判別法說：若 $f'(c)=0$ 且 $f''(c)>0$，該點是局部最小值；若 $f'(c)=0$ 且 $f''(c)<0$，則是局部最大值；只有在 $f''(c)=0$ 時判別法才失效。這裡第二種情形的兩個條件都成立：

   $f'(1)=0\quad\text{且}\quad f''(1)=-6<0$

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   寫出結論，並指出哪些東西沒有被決定。 $f$ 在 $x=1$ 處有局部最大值。注意 $f$ 本身只被決定到差兩個常數——連續求兩次反導函數得到 $f(x)=x^{3}-6x^{2}+C_1x+C_2$，而條件 $f'(1)=0$ 把 $C_1=9$ 釘住，卻讓 $C_2$ 保持自由。因此 $f(1)$ 的值是未知的；被逼定下來的只有這個點的分類。