把 n 趨近無限大時，i 從 1 到 n 的 (3 + 2i/n) 平方乘以 2/n 的總和極限，解釋成一個定積分並求值。

Step-by-step solution

1. 1

   把這個和與積分的定義對照。 $f$ 在 $[a,b]$ 上的右端點黎曼和是

   $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+i\,\Delta x)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$

   所以工作就是對上三樣東西：寬 $\Delta x$、取樣點 $a+i\,\Delta x$，以及對應法則 $f$。

2. 2

   讀出寬，順帶讀出區間長度。 平方外面那個因子是 $\dfrac{2}{n}$，所以

   $\Delta x=\frac{2}{n}=\frac{b-a}{n}\quad\Longrightarrow\quad b-a=2.$

3. 3

   讀出左端點。 取樣點是 $3+\dfrac{2i}{n}=3+i\,\Delta x$。與 $a+i\,\Delta x$ 對照得 $a=3$，於是 $b=a+2=5$。（那個沒有乘上 $i$ 的常數，永遠是左端點。）

4. 4

   讀出函數。 對取樣點做的動作是平方，所以 $f(x)=x^{2}$。三塊拼起來，

   $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(3+\frac{2i}{n}\right)^{2}\frac{2}{n}=\int_{3}^{5}x^{2}\,dx.$

5. 5

   把積分算出來。

   $\int_{3}^{5}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{3}^{5}=\frac{125}{3}-\frac{27}{3}=\frac{98}{3}\approx 32.667.$

   檢查：直接用 $n=10^{6}$ 把和加起來得到 $32.66668$，與 $\tfrac{98}{3}$ 到小數第五位吻合。順帶一提，這個對應方式不是唯一的：把同一個極限寫成 $a=0,\ b=2$ 且 $f(x)=(3+x)^{2}$，得到的是同一個數。