計算 x 趨於 −2 時 (4 − x²)/(2x² + x³) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先試直接代入。 在 $x=-2$ 處分子是 $4-4=0$，分母是 $8-8=0$，所以是 $\frac{0}{0}$ 型，說明上下必定藏著公因式。

2. 2

   分解分子。 用平方差公式，$4-x^2=(2-x)(2+x)$。注意書寫的順序：寫成 $-(x-2)(x+2)$ 雖然等價，但更容易把符號弄錯。

3. 3

   分解分母。 提出共同的 $x^2$：$2x^2+x^3=x^2(2+x)$。

4. 4

   約掉公因式。 當 $x\neq -2$ 時，這個商等於 $\frac{(2-x)(2+x)}{x^2(2+x)}=\frac{2-x}{x^2}$，而 $x=-2$ 這一點本身對極限並無影響。

5. 5

   把約簡後的式子代入。 $\frac{2-(-2)}{(-2)^2}=\frac{4}{4}=1$。

6. 6

   解釋這個結果的意義。 原函數在 $x=-2$ 處有一個可去除的不連續點：只要把該點的函數值補成 $1$，它在那裡就連續了。