求 x² + y² 在拋物面 x² + y² = 2z 內部、介於平面 z = 2 與 z = 8 之間的立體上的三重積分。

Step-by-step solution

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   認出被積函數就是 $r^2$。 組合 $x^2+y^2$ 正好是柱面半徑的平方，所以柱面座標是最自然的選擇——被積函數變成 $r$ 的單一次方，而且完全不依賴角度：

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   這個量正是立體對 $z$ 軸轉動慣量背後的被積函數，這也是它為什麼這麼常出現。

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   用水平切片定出上下限。 在拋物面 $z=\tfrac{r^2}{2}$ 內部代表 $r\le\sqrt{2z}$，而兩個平面把 $z$ 夾在 $2$ 與 $8$ 之間：

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr\,d\theta\,dz$

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   先做徑向積分。 固定高度 $z$，

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2z}}=\frac{(2z)^2}{4}=z^2$

   $(2z)^2/4$ 剛好塌成 $z^2$，是 $x^2+y^2=2z$ 裡那個係數 $2$ 帶來的小小幸運，也讓後續變得毫無難度。

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   掃過角度，再掃過高度。 由於沒有任何東西依賴 $\theta$，那個積分只貢獻一個因子 $2\pi$：

   $\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi} z^2\,d\theta\,dz=2\pi\int_2^8 z^2\,dz=2\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_2^8=2\pi\cdot\frac{512-8}{3}=2\pi\cdot 168$

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   寫出答案，並用體積檢查一下。

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=336\pi\approx 1055.6$

   快速的合理性檢查：同一個立體的體積是 $\int_2^8 \pi(2z)\,dz=\pi(64-4)=60\pi$，所以 $x^2+y^2$ 在立體上的平均值是 $\tfrac{336\pi}{60\pi}=5.6$。對一個半徑介於 $2$ 到 $4$ 的區域來說，這個均方半徑很可信。