在 x = -7 到 x = 0 上描繪 f(x) = -2x^2 * e^x，並找出它的臨界點、反曲點與值域。

Step-by-step solution

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   先讀出正負號與端點。 由於 $x^2\ge 0$ 而且 $e^x>0$ 恆成立，因子 $-2$ 逼得

   $f(x)\le 0\quad\text{對所有 }x,\qquad f(x)=0\text{ 只在 }x=0$

   在左端點 $f(-7)=-98e^{-7}\approx -0.0894$，所以曲線起始於軸線稍下方——指數早已把 $x^2$ 的成長壓垮了。

2. 2

   用乘積法則微分。

   $f^{\prime}(x)=-2\left(2xe^{x}+x^{2}e^{x}\right)=-2xe^{x}(x+2)$

   所以臨界點是 $x=0$ 與 $x=-2$；因子 $e^x$ 從不為零。

3. 3

   判斷每一段上的走向。 當 $x<-2$ 時 $x$ 與 $x+2$ 都是負的，所以它們的乘積為正而 $f^{\prime}<0$：曲線下降。當 $-2<x<0$ 時乘積為負，所以 $f^{\prime}>0$：曲線上升。因此

   $x=-2\ \text{是局部極小點},\qquad f(-2)=-2(4)e^{-2}=-\frac{8}{e^{2}}\approx -1.0827$

   而 $x=0$ 是這個區間上的最大點，$f(0)=0$。

4. 4

   由二階導數找出反曲點。

   $f^{\prime\prime}(x)=-2e^{x}\left(x^{2}+4x+2\right)$

   $x^{2}+4x+2=0\;\Longrightarrow\;x=-2\pm\sqrt2\approx -3.4142,\ -0.5858$

   而且 $f(-3.4142)\approx -0.7671$ 與 $f(-0.5858)\approx -0.3820$。曲線在兩者之間凹口向上，在兩者之外凹口向下。

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   組出草圖並寫出值域。 在 $[-7,0]$ 上，圖形從 $-0.089$ 附近出發，下降到谷底 $\left(-2,\,-8e^{-2}\right)$，然後從下方爬回來觸及原點，抵達時變得平坦，因為 $f^{\prime}(0)=0$。因此值域是

   $\left[-\frac{8}{e^{2}},\,0\right]\approx[-1.0827,\,0]$

   一次快速的數值檢查印證了這個形狀：$f(-7)=-0.0894$、$f(-3.4142)=-0.7671$、$f(-2)=-1.0827$、$f(-0.5858)=-0.3820$、$f(0)=0\;\checkmark$。