證明：若 f 在 [a, ∞) 上單調、非負且無界，則 f 從 a 積到無窮大的瑕積分必定發散。

Step-by-step solution

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   釐清「單調加上無界」逼出了什麼。 $[a,\infty)$ 上的單調函數不是非遞減就是非遞增。一個從 $f(a)$ 出發、又始終 $\ge 0$ 的非遞增函數會被困在 $[0,f(a)]$ 之內——因此有界。所以無界這個前提排除了這種情形：$f$ 必定是非遞減的，且 $f(x)\to+\infty$。

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   取出一個方便的門檻。 由於 $f(x)\to+\infty$，存在某個 $b\ge a$ 使得

   $f(b)\ge 1$

   又因為 $f$ 非遞減，對所有 $x\ge b$ 都有 $f(x)\ge 1$。取常數 $1$ 純屬方便——任何正數都同樣行得通。

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   在尾端做比較。 對任意 $T>b$，積分的單調性給出

   $\int_{b}^{T}f(x)\,dx\ge \int_{b}^{T}1\,dx=T-b$

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   讓 T 增大。 右邊的 $T-b\to+\infty$，所以 $\int_{b}^{T}f\to+\infty$。再補上有限的那一塊 $\int_{a}^{b}f$（它有限，是因為 $f$ 在有界區間 $[a,b]$ 上單調，因而可積），並不會改變這個結果：

   $\int_{a}^{T}f(x)\,dx\to+\infty\quad\text{當 }T\to+\infty$

   $\boxed{\text{瑕積分發散}}$

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   檢查每個前提的必要性。 拿掉無界，結論就不成立：$[1,\infty)$ 上的 $f(x)=\tfrac{1}{x^{2}}$ 單調、非負而且有界，它的積分收斂到 $1$。拿掉單調同樣不成立：一個由愈來愈高、愈來愈細的尖峰組成的非負無界函數（在 $x=n$ 附近高度為 $n$、寬度為 $2^{-n}n^{-1}$）總面積是 $\sum 2^{-n}<\infty$。所以這兩個條件在這裡確實都有在出力。

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   注意它與級數的對照。 換成數列，對應的敘述是顯然的——無界的非負數列不可能有 $a_n\to 0$，所以由項判別法就知道 $\sum a_n$ 發散。積分則沒有這種項判別法（一個函數可以不趨於 $0$，積分卻仍然收斂），這正是為什麼單調性必須被明確假設。