當 x 接近 y 時，求 ln(x/y) 的實用近似式，並給出下一項修正。

Step-by-step solution

1. 1

   把商式化成小擾動。 令 $x=y+\Delta$，其中 $\Delta=x-y$ 相對於 $y$ 很小。於是

   $\frac{x}{y}=1+\frac{\Delta}{y},\qquad\text{所以}\qquad \ln\!\left(\frac{x}{y}\right)=\ln\!\left(1+u\right),\quad u=\frac{x-y}{y}.$

   量 $u$ 就是 $x$ 相對於 $y$ 的相對變化。把問題改寫成 $u$ 的形式，正是讓單一次級數展開就能包辦全部工作的關鍵。

2. 2

   在 $u=0$ 附近展開對數。 馬克勞林級數是

   $\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\cdots,\qquad |u|<1.$

   沒有常數項反映了 $\ln1=0$，而首項係數 $1$ 就是 $\frac{d}{du}\ln(1+u)$ 在 $u=0$ 的值。

3. 3

   讀出一階近似。 只保留首項，

   $\boxed{\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}}$

   這正是「對數差近似百分比變化」這個常見說法：上漲 $3\%$ 對應的對數變化約為 $0.03$。

4. 4

   加上二次修正。 多保留一項，

   $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}-\frac12\left(\frac{x-y}{y}\right)^{2}.$

   當 $x>y$ 時這項修正恆為負，意思是一階估計會系統性高估上漲的對數值——對數函數是凹的。

5. 5

   注意另一個展開點，並量化誤差。 改在 $x$ 而非 $y$ 附近展開會得到 $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{x}$，它低估了真值；這兩個單邊估計把真值夾在中間，而除以兩者的中點會比任一個都更準。數值上取 $x=10.3$、$y=10$：精確值是 $0.0295588$，一階估計是 $0.03$（誤差 $1.5\%$），二階估計是 $0.029550$（誤差 $0.03\%$）✓。