求第 n 項為 1/(4n² − 1) 的無窮級數之和，n 從 1 加到無窮大。

Step-by-step solution

1. 1

   把分母因式分解。 $4n^2-1$ 是平方差：$(2n-1)(2n+1)$。認出它是兩個一次因式的乘積，就是「部分分式會伸縮相消」的訊號。

2. 2

   拆成部分分式。 寫成 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}$。去分母得 $1=A(2n+1)+B(2n-1)$；代 $n=\frac12$ 得 $A=\frac12$，代 $n=-\frac12$ 得 $B=-\frac12$。

3. 3

   寫出一般項。 $\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$。

4. 4

   寫出部分和。 $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right)\right]$。每一個中間的分數都各出現一次正、一次負，所以只有頭尾兩項留下來：$S_N=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right)$。

5. 5

   取極限。 當 $N\to\infty$ 時，$\frac{1}{2N+1}\to 0$，所以 $S_N\to\frac12$。

6. 6

   數值檢查。 把前 $2\times10^{6}$ 項加起來得 $0.49999988$，與封閉式 $S_N=\frac12-\frac{1}{2(2N+1)}$ 相符。