對 f(x) = x/(x² + 1) 微分。

Step-by-step solution

1. 1

   架好除法律。 取 $u=x$ 與 $v=x^2+1$，

   $f'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad u'=1,\qquad v'=2x$

   分子的順序很重要：是分子的導數乘分母，減去分子乘分母的導數，絕不能反過來。另外注意 $v=x^2+1\ge1>0$ 處處成立，所以 $f$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上都有定義而且可微。

2. 2

   代進公式。

   $f'(x)=\frac{(1)\left(x^2+1\right)-(x)(2x)}{\left(x^2+1\right)^2}$

3. 3

   化簡分子。

   $x^2+1-2x^2=1-x^2$

   所以

   $f'(x)=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}$

   $x^2$ 這些項部分互相抵消 —— 這正是把雜亂的式子變乾淨的關鍵。

4. 4

   直接從答案讀出轉折點。 分母恆為正，所以 $f'$ 的正負就是 $1-x^2=(1-x)(1+x)$ 的正負。它在 $(-1,1)$ 上為正、在區間外為負，於是在 $x=-1$ 處有局部極小值（該處 $f=-\tfrac12$），在 $x=1$ 處有局部極大值（該處 $f=\tfrac12$）。

5. 5

   注意兩端的行為。 當 $|x|\to\infty$ 時分母以 $x^2$ 的速度成長，分子卻只以 $x$ 的速度成長，所以 $f(x)\to0$：$x$ 軸在兩個方向上都是水平漸近線，而 $\pm\tfrac12$ 就是整體的極值。

6. 6

   數值驗算。 把封閉形式與步長 $10^{-7}$ 的對稱差商相比：在 $x=0.4$ 兩者都得 $0.624257$；在 $x=-1.7$ 兩者都得 $-0.124900$；在 $x=3.3$ 兩者都得 $-0.069957$ ✓。