求 sin(x) 的馬克勞林級數，到 x 的 7 次項為止。

Step-by-step solution

1. 1

   建立 $x=0$ 處的導數循環。 正弦的導數以四為週期重複，所以係數遵循一個四步的規律：

   $\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad -\sin 0=0,\quad -\cos 0=-1,\quad \text{接著重複}$

   因此 $f^{(n)}(0)$ 就在 $0,1,0,-1$ 之間循環。

2. 2

   把這些值代進馬克勞林公式。 由 $f(x)=\sum_{n\ge 0}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$，每一個偶數階導數都消失，只有奇次冪存活下來：

   $\sin x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

   沒有偶次冪並不是巧合——$\sin(-x)=-\sin x$ 說明這個函數是奇函數，而奇函數只可能有奇數次的項。

3. 3

   算出各個階乘。

   $3!=6,\qquad 5!=120,\qquad 7!=5040$

   $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+O\!\left(x^9\right)$

4. 4

   寫出一般項。 以封閉形式表示，

   $\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

   它對每一個實數 $x$ 都收斂——收斂半徑是無窮大，因為 $(2k+1)!$ 終究會超過任何固定的冪次。

5. 5

   衡量精確度。 在 $x=1$ 弧度處，截斷後得到

   $1-\frac16+\frac{1}{120}-\frac{1}{5040}=0.8414682\ldots$

   與 $\sin 1=0.8414710$ 相比，誤差約為 $2.7\times 10^{-6}$——這與下一個被略去的項 $\tfrac{x^9}{9!}=\tfrac{1}{362880}\approx 2.76\times 10^{-6}$ 相符。交錯級數的誤差界保證誤差絕不會超過第一個被丟掉的項。