求 x 趨近 1 時 (x² − 1)·tan(2x − 2) / sin²(x − 1) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認這是未定型。 在 $x = 1$ 處：$x^2-1 = 0$，$\tan(2x-2) = \tan 0 = 0$，$\sin^2(x-1) = 0$，所以整個式子是 $\dfrac{0 \cdot 0}{0}$——貨真價實的未定型，不允許直接代入。

2. 2

   令 $u = x-1$，把所有東西都挪到零附近。 於是 $x = u+1$，$x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = u(u+2)$，$2x-2 = 2u$，$x-1 = u$，並且 $u \to 0$：

   $\lim_{u\to 0}\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u}$

   這個代換就是全部訣竅：它把兩個標準的小角度極限亮了出來。

3. 3

   用兩個標準極限改寫。 把式子拆開，讓每個三角因子都配上自己的引數：

   $\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u} = (u+2)\cdot\underbrace{\frac{\tan(2u)}{2u}}_{\to\,1}\cdot 2 \cdot \underbrace{\left(\frac{u}{\sin u}\right)^{2}}_{\to\,1}$

   這裡 $u \cdot \dfrac{2u}{u^2} = \dfrac{2}{1}$ 交代了那個因子 $2$ 的來歷，用到的是 $\lim_{t\to0}\tfrac{\tan t}{t} = 1$ 與 $\lim_{u\to0}\tfrac{\sin u}{u} = 1$。

4. 4

   逐個因子取極限。

   $\lim_{u\to 0}(u+2) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 \cdot 2 = 4$

5. 5

   用最低階近似交叉驗證。 當 $u$ 很小時，$\tan(2u) \approx 2u$，$\sin^2 u \approx u^2$，所以整個商的行為像 $\dfrac{u(u+2)(2u)}{u^2} = 2(u+2) \to 4$ ✓——換一條更短的路，答案相同。

6. 6

   數值驗證。 取 $u = 0.01$（即 $x = 1.01$）：分子 $= 0.01 \times 2.01 \times \tan(0.02) = 0.01 \times 2.01 \times 0.0200027 = 0.000402054$，分母 $= \sin^2(0.01) = 0.0000999967$，商 $= 4.02067$。取 $u = 0.001$ 時商是 $4.002007$ ✓，正朝 $4$ 收攏，而符號計算給出的極限恰好就是 $4$。