求 f(t) = t·e^(2t) 的拉普拉斯轉換，並說明它的收斂域。

Step-by-step solution

1. 1

   從已經會的那個轉換出發。 冪函數的基本公式給出

   $\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad\text{於是}\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\quad (s>0).$

   這道題裡剩下的就只有那個指數因子，而恰好有一條規則專門為它準備。

2. 2

   套用第一位移定理。 該定理說：函數乘上 $e^{at}$，它的轉換就發生平移：

   $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),\qquad F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.$

   取 $f(t)=t$，則 $F(s)=\tfrac{1}{s^{2}}$、$a=2$，於是把每個 $s$ 都換成 $s-2$：

   $\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

3. 3

   用「乘以 $t$」的法則交叉驗證。 另一條獨立的路徑是 $\mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}$，取 $g(t)=e^{2t}$，它的轉換是 $\tfrac{1}{s-2}$：

   $-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-2}\right)=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

   兩條不同的定理給出同一個式子，這就很有力地說明答案沒錯。

4. 4

   再直接按定義確認一次。 取 $u=t$、$dv=e^{-(s-2)t}dt$ 做分部積分：

   $\int_{0}^{\infty}t\,e^{2t}e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s-2)t}\,dt=\left[\frac{-t\,e^{-(s-2)t}}{s-2}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s-2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}dt=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

5. 5

   給出收斂域。 只有當指數 $-(s-2)$ 為負時，邊界項才會消失、最後那個積分才收斂，也就是

   $s-2>0\;\Longleftrightarrow\;s>2.$

   這一點從答案本身也看得出來：轉換在 $s=2$ 處有一個二階極點，而收斂域總是落在最右邊那個極點的右側。