求 √(x² + 1) 在 x = 0 的泰勒級數，寫出一般項，並說明收斂區間。

Step-by-step solution

1. 1

   用 $t=x^{2}$ 套二項級數。 廣義二項式定理給出

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},$

   這裡 $\alpha=\tfrac12$、$t=x^{2}$。因為 $t$ 本身就是一個平方，只有 $x$ 的偶次方會出現——這完全合理，畢竟 $\sqrt{x^{2}+1}$ 是偶函數。

2. 2

   逐個算出係數。 由 $\binom{1/2}{n}=\frac{\tfrac12\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-n+1\right)}{n!}$：

   $n=1:\ \tfrac12x^{2};\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}x^{4}=-\tfrac18x^{4};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}x^{6}=\tfrac{1}{16}x^{6};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}x^{8}=-\tfrac{5}{128}x^{8}.$

   與 $\sqrt{1+2x}$ 的展開不同，這裡沒有 $2^{n}$ 因子要帶——代換提供的是 $x$ 的次方，而不是一個常數。

3. 3

   寫出展開式。 把各項收集起來，

   $\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{16}-\frac{5x^{8}}{128}+\cdots$

   從 $x^{4}$ 那一項開始正負號交錯，而且係數縮小得很快，所以對小的 $x$ 來說，只取幾項就已經非常準確。

4. 4

   寫出一般項。 化成封閉形式，

   $\sqrt{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{2n},\qquad \binom{1/2}{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{4^{n}(2n-1)}\binom{2n}{n}\ (n\ge1).$

   檢查 $n=2$：$\frac{-1}{16\cdot 3}\cdot 6=-\frac{6}{48}=-\frac18$ ✓，與 $x^{4}$ 的係數相符。

5. 5

   定出收斂區間。 二項級數需要 $|t|=|x^{2}|<1$，也就是 $|x|<1$。在 $x=\pm1$ 處各項的行為像 $n^{-3/2}$，所以在那裡也絕對收斂，得到閉區間 $[-1,1]$。在 $x=1$ 時它收斂到 $\sqrt2=1.4142136$，但收斂得很慢：截到 $x^{8}$ 項只有 $1.3984375$，加到 $x^{20}$ 得 $1.40993$，加到 $x^{80}$ 也還只有 $1.41366$。收斂快是區間內部的特性，不是端點的特性。