對 f(x) = x³ − 3x² + 2x 微分，並說明為什麼 x³ 會變成 3x²。

Step-by-step solution

1. 1

   寫下冪次法則，看清它做了什麼。 對任意常數指數 $n$，

   $\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}$

   有兩件事同時發生：指數掉到前面變成乘數，而且指數減一。這一句話就說明了大家最常卡住的 $x^{3}\to 3x^{2}$ 那一步。

2. 2

   微分三次項。 取 $n=3$：

   $\frac{d}{dx}\left(x^{3}\right)=3x^{3-1}=3x^{2}$

   這個 $3$ 不是憑空生出來的 —— 它就是原本的指數，搬到係數的位置上。

3. 3

   微分二次項，係數留在外面。 常數在微分時可以直接提出來，所以

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{2}\right)=-3\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=-3(2x)=-6x$

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   微分一次項。 這裡 $n=1$，所以 $x^{1}\to 1\cdot x^{0}=1$，因而

   $\frac{d}{dx}\left(2x\right)=2\cdot 1=2$

   一次項留下的永遠就只是它的斜率。

5. 5

   利用導數的線性把三塊加起來。

   $f'(x)=3x^{2}-6x+2$

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   在某一點做數值檢查。 取 $h=10^{-6}$，在 $x=2$ 的中央差分給出 $\dfrac{f(2+h)-f(2-h)}{2h}\approx 2.000000$，而公式給出 $3(4)-6(2)+2=2$。在 $x=-1$ 做同樣的檢查得到 $\approx 11.000000$，對照 $3+6+2=11$。