保護區裡的兔子族群初始有 800 隻，成長率與族群數量成正比，成長常數為每年 0.12。請解出這個微分方程式，求 5 年後的族群數量，並求倍增時間。

Step-by-step solution

1. 1

   分離變數。 方程式 $\dfrac{dP}{dt}=0.12P$ 是可分離的——把 $P$ 收到一邊、$t$ 收到另一邊：

   $\frac{dP}{P}=0.12\,dt$

2. 2

   兩邊積分並解出 P。

   $\ln|P|=0.12t+C\quad\Longrightarrow\quad P(t)=Ae^{0.12t}$

   代入 $P(0)=800$ 得 $A=800$，所以

   $P(t)=800e^{0.12t}$

3. 3

   在 t = 5 處求值。

   $P(5)=800e^{0.12(5)}=800e^{0.6}=800(1.82212)=1457.7$

   四捨五入到整隻，

   $P(5)\approx 1458\ \text{隻兔子}$

4. 4

   列出倍增的條件。 倍增表示 $P(t)=2P(0)$，也就是

   $800e^{0.12t}=1600\quad\Longrightarrow\quad e^{0.12t}=2$

5. 5

   解出倍增時間。

   $0.12t=\ln 2\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{0.12}=\frac{0.69315}{0.12}=5.776\ \text{年}$

   $\boxed{P(5)\approx 1458\ \text{隻兔子};\qquad t_{\text{倍增}}\approx 5.78\ \text{年}}$

6. 6

   注意倍增時間與初始數量無關。 在 $\tfrac{P(t)}{P(0)}=e^{kt}$ 裡 $800$ 被消掉了，所以任何成長常數 $k=0.12$ 的指數成長族群，都是每 $5.78$ 年倍增一次。交叉檢驗：經過 $5.776$ 年後模型給出 $800e^{0.12(5.776)}=800e^{0.6931}=1600$ ✓；而經過 $5$ 年後的比值 $\tfrac{1458}{800}=1.822$ 略小於 $2$，與倍增時間略多於 $5$ 年的結論一致。