微分方程式 y′ + y/x = 18x + 4 的解可寫成 kx² + hx − sy + C/x = 0。若 s 是小於 3 的正整數，求 k、h 與 s。

Step-by-step solution

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   辨認方程式的型別，並造出積分因子。 這是一階線性方程式，標準形式為 $y'+P(x)y=Q(x)$，其中 $P(x)=1/x$、$Q(x)=18x+4$。積分因子為

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int dx/x}=e^{\ln|x|}=x.$

   $\mu$ 的全部用意，就是乘上去之後讓左邊變成一個恰好的導數。

2. 2

   整式乘開，認出乘積律。

   $xy'+y=18x^{2}+4x.$

   左邊正好是 $\dfrac{d}{dx}(xy)$ ——這也是檢查積分因子有沒有算對的方法。所以

   $(xy)'=18x^{2}+4x.$

3. 3

   兩邊各積一次。

   $xy=\int(18x^{2}+4x)\,dx=6x^{3}+2x^{2}+C,$

   再同除以 $x$，

   $y=6x^{2}+2x+\frac{C}{x}.$

4. 4

   整理成題目要求的形式。 把 $y$ 移到左邊，

   $6x^{2}+2x-y+\frac{C}{x}=0.$

   逐項與 $kx^{2}+hx-sy+C/x=0$ 比較，就得到 $k=6$、$h=2$、$s=1$。「$s$ 是小於 $3$ 的正整數」這個條件是用來把整體倍率釘死的：整條方程式可以乘上任意常數，而只有 $s=1$（而非 $s=2$，那會需要 $k=12$、$h=4$）能讓 $C/x$ 的係數維持題目寫的 $1$。

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   代回去驗證。 由 $y=6x^{2}+2x+Cx^{-1}$ 得 $y'=12x+2-Cx^{-2}$，所以

   $y'+\frac{y}{x}=12x+2-\frac{C}{x^{2}}+6x+2+\frac{C}{x^{2}}=18x+4.$

   含 $C$ 的項對每一個 $C$ 都互相抵消，確認了這是通解。數值上取 $C=1.7$、$x=2.3$ 得 $y'+y/x=45.4$，而 $18(2.3)+4=45.4$。