證明：若 f(x) 在 [a, b] 上黎曼可積，則 f(x)cos(px) 從 a 到 b 的積分在 p 趨於無窮時趨於 0。

Step-by-step solution

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   選對用來逼近的函數類。 黎曼可積的 $f$ 有界，而且可以被階梯函數上下夾住，所以對每個 $\varepsilon>0$ 都存在階梯函數 $\varphi$ 使得 $\int_a^b\left|f(x)-\varphi(x)\right|dx<\varepsilon .$ 這裡 $\varphi(x)=c_k$ 在每個 $(x_{k-1},x_k)$ 上成立，所依據的分割是 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$。階梯函數是對的函數類，因為 $\int\cos(px)$ 在一個區間上可以精確寫出來。

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   把階梯函數的情形精確解決。 在每一小段上，$\int_{x_{k-1}}^{x_k}\cos(px)\,dx=\frac{\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})}{p},$ 所以 $\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx=\frac1p\sum_{k=1}^{n}c_k\left[\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})\right].$

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   把階梯的情形用 1/p 界住。 每個中括號的絕對值至多是 $2$，所以 $\left|\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx\right|\le\frac{2}{p}\sum_{k=1}^{n}|c_k| .$ 分割在 $\varepsilon$ 選定之後就固定了，所以這個和是常數，整個上界在 $p\to\infty$ 時趨於 $0$。振盪就是在這裡發揮作用：每個子區間內部的相消貢獻了 $1/p$ 這個因子。

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   把一般的積分拆成主項與誤差。 寫成 $\int_a^b f\cos(px)\,dx=\int_a^b \varphi\cos(px)\,dx+\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx .$ 由於 $|\cos(px)|\le 1$，第二塊滿足 $\left|\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx\right|\le\int_a^b|f-\varphi|\,dx<\varepsilon$ 而且對 $p$ 是一致的。

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   把兩個估計合起來。 由上一步可知存在 $P$，使得對所有 $p>P$ 都有 $\left|\int_a^b\varphi\cos(px)\,dx\right|<\varepsilon$。於是對所有 $p>P$ 都有 $\left|\int_a^b f\cos(px)\,dx\right|<2\varepsilon$。由於 $\varepsilon>0$ 是任意取的，極限就是 $0$。同樣的論證改用 $\sin(px)$ 會給出正弦的版本，兩者合起來就是 Riemann-Lebesgue 引理。