求 xyz 在單位立方體 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1、0 ≤ z ≤ 1 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認這個積分可以分離。 六個上下限全是常數，被積函數是純粹的乘積 $x \cdot y \cdot z$，而且每個因子只依賴一個變數。這正是重積分能分解成單一積分乘積的條件——也就是最後拿來驗算的那條捷徑。

2. 2

   對 z 積分，把 x 與 y 當常數。

   $\int_0^1 xyz\,dz = xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1 = \frac{xy}{2}$

   只有 $z$ 在被積分，所以 $xy$ 原封不動地跟著走。

3. 3

   對 y 積分。

   $\int_0^1 \frac{xy}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{x}{4}$

4. 4

   對 x 積分。

   $\int_0^1 \frac{x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{8}$

5. 5

   用分離後的形式確認。 因為這個積分可以分解，

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 \!\! \int_0^1 xyz\,dV = \left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^1 y\,dy\right)\left(\int_0^1 z\,dz\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

   這同時也是 $xyz$ 在立方體上的平均值（立方體的體積為 $1$），與「$x$、$y$、$z$ 各自獨立且均勻取值時，乘積的期望值是 $\tfrac12 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12$」這件事相符。