求 2k / 2^k 從 k = 1 到無窮大的級數和。

Step-by-step solution

1. 1

   把常數提出來，並替這個型式命名。 每一項都是一次因式乘上等比因式的級數叫做等差等比級數；只要公比的絕對值小於 1 就一定收斂：

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}$

2. 2

   把等比級數微分，推出關鍵公式。 由 $\sum_{k\ge 0}x^{k}=\dfrac{1}{1-x}$ 微分後再乘上 $x$：

   $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\ \Longrightarrow\ \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1$

   多出來的因子 $k$ 正是微分產生的；與其死背這類公式，這才是標準的推導方式。

3. 3

   代入 $x=\tfrac12$。

   $\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}=\frac{\frac12}{\left(1-\frac12\right)^{2}}=\frac{\frac12}{\frac14}=2$

   分母一定要平方：若用 $1-\tfrac12$ 而不是 $\left(1-\tfrac12\right)^{2}$，會得到 1。

4. 4

   再乘上常數 2。

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\times 2=4$

5. 5

   逐項相加檢查。 前幾項是 $1,1,0.75,0.5,0.3125,\dots$，累加值一路爬升 $1,2,2.75,3.25,3.5625,\dots$ 逼近 $4$；加到 200 項時，雙精度下剛好是 $4.0$ ✓。收斂很快，因為等比因子遲早會壓過一次因子。