x 對 x 的不定積分是否等於 x²/2？請說明理由。

Step-by-step solution

1. 1

   套用反導函數的冪次法則。 對任何指數 $n\ne -1$，

   $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   這裡 $x=x^{1}$，所以 $n=1$，於是

   $\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C$

2. 2

   把候選答案微分回去驗證。 檢驗積分永遠只有一種辦法 —— 把答案微分：

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{2x}{2}=x\ \checkmark$

   所以 $\dfrac{x^{2}}{2}$ 確實是 $x$ 的一個反導函數。題目給的式子與其說錯，不如說是不完整。

3. 3

   看清 $+C$ 為何不能省。 微分會把常數消掉，所以對每一個實數 $C$ 都有

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=x$

   例如 $\tfrac{x^{2}}{2}$、$\tfrac{x^{2}}{2}+7$ 與 $\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{1}{3}$ 微分後全都是 $x$。只挑其中一個寫成「那個」積分，等於默默丟掉了無限多個同樣正確的答案。

4. 4

   理解 $C$ 已經把它們全部收進來了。 均值定理保證同一個函數在一個區間上的任兩個反導函數只差一個常數，所以 $\tfrac{x^{2}}{2}+C$ 這一族不只是某些反導函數 —— 它是 $x$ 的每一個反導函數。而 $\int x\,dx$ 這個記號指的正是這件事。

5. 5

   記住常數真正會消失的場合。 在定積分裡常數會互相抵消：

   $\int_{0}^{3}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+C\right]_{0}^{3}=\left(\frac92+C\right)-\left(0+C\right)=\frac92$

   所以不定積分一定要寫 $+C$，而定積分則可以放心忽略它。